Lineare Gruppe/gW in W/Zariski-Abgeschlossen/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Die Operation

$G\times V\longrightarrow V$

ist nach Voraussetzung ein ${}K$-Morphismus und somit ist insbesondere zu jedem ${}v\in V$ die induzierte Abbildung

$\phi _{v}\colon G\longrightarrow V,\,g\longmapsto g(v),$

ein Morphismus (${}\phi _{v}$ ist die Hintereinanderschaltung von ${}G\longrightarrow G\times V$, ${}g\longmapsto (g,v)$, mit der Operationsabbildung). Da ${}U\subseteq V$ Zariski-abgeschlossen ist, ist auch das Urbild ${}\phi _{v}^{-1}(U)$ abgeschlossen.
(2). Offenbar ist ${}H$ eine Untergruppe von ${}G$. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{r}$ eine Basis von ${}U$. Die Bedingung ${}g(U)\subseteq U$ ist äquivalent zu ${}g(v_{i})\in U$ für ${}i=1,\ldots ,r$. Daher ist ${}H$ der Durchschnitt von endlich vielen (nach (1)) Zariski-abgeschlossenen Mengen und somit selbst abgeschlossen.

Zur bewiesenen Aussage