Lineare Gruppe/gW in W/Zariski-Abgeschlossen/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei $G$ eine affin-algebraische Gruppe über $K$, die auf $V$ $K$-rational operiere. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für einen Vektor  $v\in V$  und einen $K$-Untervektorraum  $U\subseteq V$  ist

   $\{g\in G\mid g(v)\in U\}\subseteq G$

   Zariski-abgeschlossen.

2. Zu einem $K$-Untervektorraum  $U\subseteq V$  ist

   $H=\{g\in G\mid g(U)\subseteq U\}\subseteq G$

   eine Zariski-abgeschlossene Untergruppe von $G$ (also selbst eine lineare Gruppe).

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen