Lineare Invariantentheorie/Relative Invarianten zu Charakter/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und

$G\times V\longrightarrow V$

eine lineare Operation einer Gruppe ${}G$ auf ${}V$. Es sei

$\chi \colon G\longrightarrow K^{\times }$

ein Charakter. Dann nennt man

${}K[V]_{\chi }^{G}:={\left\{f\in K[V]\mid f\sigma =\chi (\sigma )\cdot f{\text{ für alle }}\sigma \in G\right\}}\,$

die ${}\chi$-relativen Invarianten oder Semiinvarianten.

Der Invariantenring ist also die Menge der Invarianten relativ zum trivialen Charakter.

Die ${}\chi$-relativen Invarianten sind ein ${}K[V]^{G}$-Untermodul von ${}K[V]$: Wenn ${}g$ invariant ist und ${}f$ ${}\chi$-invariant, so ist

${}(gf)\sigma =(g)\sigma \cdot (f)\sigma =g\chi (\sigma )f\,.$