Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst gibt es eine Stammfunktion $G$ von $g$ aufgrund von Fakt, sodass die angegebenen Funktionen existieren.
Durch Ableiten bestätigt man direkt, dass diese Funktionen wirklich Lösungen sind.
Es sei $y$ eine beliebige Lösungsfunktion. Wir betrachten den Quotienten

$\begin{array}{cc}{\left(\frac{y(t)}{\exp (G(t))}\right)}^{\prime }& =\frac{y^{\prime }(t)\exp (G(t))-y(t)\cdot (\exp (G(t))\cdot g(t))}{{\exp }^2(G(t))}\\ & =\frac{y(t)g(t)\exp (G(t))-y(t)\cdot (\exp (G(t))\cdot g(t))}{{\exp }^2(G(t))}\\ & =0,\end{array}$

sodass aufgrund von Fakt der Quotient $\frac{y(t)}{\exp (G(t))}$ konstant sein muss, woraus die Behauptung folgt.
Die Bedingung  $y(t_0)=y_0$  legt den Skalar  $c=\frac{y_0}{\exp (G(t_0))}$  eindeutig fest.

Zur bewiesenen Aussage