Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt/Beweis

Beweis

Da ${}a(t)$ keine Nullstelle besitzt, kann man jede (differenzierbare) Funktion

$y\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

als

${}y(t)=c(t)a(t)\,$

mit einer unbekannten (differenzierbaren) Funktion ${}c(t)$ ansetzen. Dabei ist (für eine differenzierbare Funktion ${}y$)

${}y'(t)=c'(t)a(t)+c(t)a'(t)\,.$

Daher kann man die Lösungsbedingung

${}y'(t)=g(t)y(t)+h(t)\,$

als

${}c'(t)a(t)+c(t)a'(t)=g(t)c(t)a(t)+h(t)\,$

schreiben, und diese gilt wegen  ${}a'(t)=g(t)a(t)$  genau dann, wenn

${}c'(t)a(t)=h(t)\,$

bzw.

${}c'(t)={\frac {h(t)}{a(t)}}\,$

gilt. D.h. ${}c(t)$ muss eine Stammfunktion zu ${}{\frac {h(t)}{a(t)}}$ sein. Es sei nun noch die Anfangsbedingung  ${}y(t_{0})=y_{0}$  vorgegeben. Mit ${}c(t)$ ist auch ${}c(t)+c_{0}$ für jedes  ${}c_{0}\in \mathbb {R}$  eine Stammfunktion zu ${}{\frac {h(t)}{a(t)}}$. Die Bedingung

${}y_{0}={\left(c(t_{0})+c_{0}\right)}a(t_{0})\,$

legt dann ${}c_{0}$ eindeutig fest.

Zur bewiesenen Aussage