Beweis
Da
keine Nullstelle besitzt, kann man jede
(differenzierbare)
Funktion
-
als
-
![{\displaystyle {}y(t)=c(t)a(t)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f09c8f29232a3ae3ae0802a279f3cea7d1c7459)
mit einer unbekannten
(differenzierbaren)
Funktion
ansetzen. Dabei ist
(für eine differenzierbare Funktion
)
-
![{\displaystyle {}y'(t)=c'(t)a(t)+c(t)a'(t)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a7ebb9401c42cdfab857701a222bb076c421c0a)
Daher kann man die Lösungsbedingung
-
![{\displaystyle {}y'(t)=g(t)y(t)+h(t)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38af8108346d9d04aa670fb3203757dc9aa42450)
als
-
![{\displaystyle {}c'(t)a(t)+c(t)a'(t)=g(t)c(t)a(t)+h(t)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb7b4e500ba4a25a0b4c5a41287aaf7fb882f748)
schreiben, und diese gilt wegen
genau dann, wenn
-
![{\displaystyle {}c'(t)a(t)=h(t)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8b8c7296196131b90ff5cc7fe1b4f39d177d6e6)
bzw.
-
![{\displaystyle {}c'(t)={\frac {h(t)}{a(t)}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ce886ef703aaf1eb7ffe143a302bf2017d4d39d)
gilt. D.h.
muss eine Stammfunktion zu
sein.
Es sei nun noch die
Anfangsbedingung
vorgegeben. Mit
ist auch
für jedes
eine Stammfunktion zu
. Die Bedingung
-
![{\displaystyle {}y_{0}={\left(c(t_{0})+c_{0}\right)}a(t_{0})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8276d5bf9f56aca5c0d2a5c6d5db68475b50f6d6)
legt dann
eindeutig fest.