Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt/Beweis

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Beweis

Da keine Nullstelle besitzt, kann man jede (differenzierbare) Funktion

als

mit einer unbekannten (differenzierbaren) Funktion ansetzen. Dabei ist (für eine differenzierbare Funktion )

Daher kann man die Lösungsbedingung

als

schreiben, und diese gilt wegen genau dann, wenn

bzw.

gilt. D.h. muss eine Stammfunktion zu sein. Es sei nun noch die Anfangsbedingung vorgegeben. Mit ist auch für jedes eine Stammfunktion zu . Die Bedingung

legt dann eindeutig fest.

Zur bewiesenen Aussage