Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/C/Lösbarkeit/Fakt

Es sei

$v^{\prime }=Mv$

mit  $M\in {\mathrm{Mat}}_{n\times n}(ℂ)$  ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Dann gibt es eine invertierbare Matrix  $B\in {\mathrm{Mat}}_{n\times n}(ℂ)$  derart, dass das äquivalente Differentialgleichungssystem

$w^{\prime }=Nw\text{ mit }N=BM{B}^{-1}$

obere Dreiecksgestalt besitzt, also von der Form

$\left(\begin{array}{c}w{\text{'}}_1\\ w{\text{'}}_2\\ ⋮\\ w{\text{'}}_{n-1}\\ {w_n}^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n}\\ 0& c_{22}& \cdots & c_{2n}\\ ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& c_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\\ ⋮\\ w_{n-1}\\ w_n\end{array}\right)$

(mit $c_{ij}\in ℂ$) ist.

Dieses System lässt sich sukzessive von unten nach oben mit dem Lösungsverfahren für inhomogene lineare Differentialgleichungen in einer Variablen lösen. Wenn zusätzlich Anfangsbedingungen  $v_i(t_0)=a_i$  für  $i=1,\dots ,n$  gegeben sind, so ist die Lösung eindeutig.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen