Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/C/Lösbarkeit/Fakt/Beweis
Aufgrund von Fakt ist die Matrix trigonalisierbar, d.h. es gibt eine invertierbare Matrix derart, dass
obere Dreiecksgestalt besitzt. Das lineare Differentialgleichungssystem besitzt also die angegebene Gestalt, und es ist wegen Fakt äquivalent zum ursprünglichen System. Die letzte Zeile des neuen Systems, also
ist eine lineare Differentialgleichung in einer Variablen, ihre Lösungen sind . Die zweitletzte Zeile ist
worin man die Lösung für einsetzen kann. Dann erhält man eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung in der einen Variablen , die man mit dem angegebenen
Lösungsverfahren
lösen kann. Für die drittletzte Zeile sind dann
und
schon bekannt und dies führt wieder zu einer inhomogenen linearen Differentialgleichung für . So erhält man sukzessive eine Gesamtlösung .
Eine Anfangsbedingung für
übersetzt sich direkt in eine Anfangsbedingung für
.
In dem soeben beschriebenen Lösungsverfahren gibt es dann jeweils eine Anfangsbedingung für die inhomogenen Differentialgleichungen, sodass die Lösungen jeweils eindeutig sind.