Lineares homogenes Gleichungssystem/Elimination/2x+5y+2z-v, 3x-4y+u+2v, 4x -2z+2u/Beispiel

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Wir knüpfen an die homogene Version von Beispiel an, d.h. wir betrachten das homogene lineare Gleichungssystem

über . Aufgrund von Fakt ist die Lösungsmenge ein Untervektorraum von . Wir haben ihn in Beispiel explizit als

beschrieben, woraus ebenfalls erkennbar ist, dass dieser Lösungsraum ein Vektorraum ist. In dieser Schreibweise wird klar, dass in Bijektion zu steht, und zwar respektiert diese Bijektion sowohl die Addition als auch die Skalarmultiplikation (der Lösungsraum des inhomogenen Systems steht ebenfalls in Bijektion zu , allerdings gibt es keine sinnvolle Addition und Skalarmultiplikation auf ). Allerdings hängt diese Bijektion wesentlich von den gewählten „Basislösungen“ und ab, die von der gewählten Eliminationsreihenfolge abhängen. Es gibt für andere gleichberechtigte Basislösungen.