Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Elimination/Stufengestalt und Dreiecksgestalt/Fakt

Jedes (inhomogene) lineare Gleichungssystem über einem Körper $K$

lässt sich durch die in Fakt beschriebenen elementaren Umformungen und durch das Weglassen von überflüssigen Gleichungen in ein äquivalentes lineares Gleichungssystem der Stufenform

$\begin{array}{cccccccccc}{b}_{1s_1}{x}_{s_1}& +b_{1s_1+1}{x}_{s_1+1}& \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & +b_{1n}{x}_n& =& d_1\\ 0& \dots & 0& b_{2s_2}{x}_{s_2}& \dots & \dots & \dots & +b_{2n}{x}_n& =& d_2\\ ⋮& \ddots & \ddots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& =& ⋮\\ 0& \dots & \dots & \dots & 0& b_{m{s}_m}{x}_{s_m}& \dots & +b_{mn}{x}_n& =& d_m\\ (0& \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & 0& =& d_{m+1})\end{array}$

überführen, bei dem alle Startkoeffizienten $b_{1s_1},b_{2s_2},\dots ,b_{m{s}_m}$ von $0$ verschieden sind.

Dabei ist (bei $d_{m+1}=0$) die letzte Zeile überflüssig oder aber (bei $d_{m+1}\ne 0$) das System besitzt keine Lösung.

Durch Variablenumbenennungen erhält man ein äquivalentes System der Form

$\begin{array}{ccccccccc}{c}_{11}{y}_1& +c_{12}{y}_2& \dots & +c_{1m}{y}_m& +c_{1m+1}{y}_{m+1}& \dots & +c_{1n}{y}_n& =& d_1\\ 0& c_{22}{y}_2& \dots & \dots & \dots & \dots & +c_{2n}{y}_n& =& d_2\\ ⋮& \ddots & \ddots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& =& ⋮\\ 0& \dots & 0& c_{mm}{y}_m& +c_{mm+1}{y}_{m+1}& \dots & +c_{mn}{y}_n& =& d_m\\ (0& \dots & \dots & 0& 0& \dots & 0& =& d_{m+1})\end{array}$

mit Diagonalelementen  $c_{ii}\ne 0$. 

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen