Logik/Vollständigkeitssatz/Auffüllung mit Beispielen/Einzelschritt/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Die Menge definieren wir als disjunkte Vereinigung

wobei eine Variablenmenge ist, die für jeden Ausdruck der Form genau eine (neue) Variable enthält, die wir mit bezeichnen. Wir setzen

Daher ist und enthält -Beispiele. Es bleibt also die Widerspruchsfreiheit zu zeigen. Wäre widerspruchsvoll, so wäre auch eine endliche Teilmenge davon widerspruchsvoll und insbesondere würde es Ausdrücke derart geben, dass

widersprüchlich ist (dabei können die gleich oder verschieden sein). Da bei jeder Hinzunahme eine neue Variable verwendet wird, können wir induktiv Fakt anwenden und erhalten die Widersprüchlichkeit von .