Logik/Vollständigkeitssatz/Auffüllung mit einem Beispiel/Neue Termvariable/Widerspruchsfreiheit/Fakt/Beweis

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Beweis

 Nehmen wir an, dass widersprüchlich ist. Dann kann man aus jeden Ausdruck ableiten. Es gilt also

und damit

für jeden Ausdruck . Es gilt also insbesondere

und

Wir nehmen nun zusätzlich an, dass in nicht vorkommt. Da überhaupt nicht in den anderen Ausdrücken vorkommt, können wir mittels Axiom (genauer wegen der in Aufgabe besprochenen Variante) auf

schließen. Damit ergibt sich mit der Fallunterscheidungsregel

 im Widerspruch zur Widerspruchsfreiheit von .