Logik erster Stufe/Ableitungen repräsentierbar/Unvollständig/Fakt/Beweis

Beweis

Aus der Repräsentierbarkeit von ${}\Gamma ^{\vdash }$ folgt, dass es einen arithmetischen Ausdruck in einer freien Variablen gibt, sagen wir ${}a(x)$, mit der Eigenschaft, dass

$\Gamma \vdash s$

genau dann gilt, wenn

$\Gamma \vdash a(GN(s))$

gilt. Wir betrachten die Negation ${}\beta =\neg a$. Nach Fakt gibt es für ${}\beta$ einen Fixpunkt, also einen Satz ${}q$ mit

$\Gamma \vdash q\longleftrightarrow \beta (GN(q))$

bzw.

$\Gamma \vdash q\longleftrightarrow \neg a(GN(q)).$

Sowohl aus ${}\Gamma \vdash q$ als auch aus ${}\Gamma \vdash \neg q$ ergibt sich dann direkt ein ableitbarer Widerspruch, was der Widerspruchsfreiheit des Systems widerspricht.

Zur bewiesenen Aussage