Lokale Extrema/Nebenbedingung/Auf Kreis/x^3-y^2x/Beispiel

Wir betrachten die Funktion

${}h(x,y)=x^{3}-xy^{2}\,$

auf dem Einheitskreis

${}K={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$

und interessieren uns für die Punkte  ${}a\in K$,  auf denen ${}h$ ein lokales Extremum annehmen kann. Das totale Differential von ${}h$ ist

$\left(3x^{2}-y^{2},\,-2xy\right)$

und das totale Differential von

${}f(x,y)=x^{2}+y^{2}\,$

ist

$(2x,2y).$

Gemäß Fakt müssen wir die Punkte  ${}a\in K$  bestimmen, für die die beiden Differentiale linear abhängig sind. Die Determinante ist

${}\det {\begin{pmatrix}2x&2y\\3x^{2}-y^{2}&-2xy\end{pmatrix}}=-4x^{2}y-6x^{2}y+2y^{3}=-10x^{2}y+2y^{3}=2y{\left(-5x^{2}+y^{2}\right)}\,.$

Somit liegt bei  ${}y=0$  und bei  ${}y=\pm {\sqrt {5}}x$  lineare Abhängigkeit vor. Die Kreisbedingung führt somit auf die Punkte

$a_{1}=\left(1,\,0\right),\,a_{2}=\left(-1,\,0\right),\,a_{3}=\left({\sqrt {\frac {1}{6}}},\,{\sqrt {5}}{\sqrt {\frac {1}{6}}}\right),\,a_{4}=\left({\sqrt {\frac {1}{6}}},\,-{\sqrt {5}}{\sqrt {\frac {1}{6}}}\right),\,a_{5}=\left(-{\sqrt {\frac {1}{6}}},\,{\sqrt {5}}{\sqrt {\frac {1}{6}}}\right),\,a_{6}=\left(-{\sqrt {\frac {1}{6}}},\,-{\sqrt {5}}{\sqrt {\frac {1}{6}}}\right).$