Extrema/Nebenbedingung/Hyperfläche/Fakt

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und seien

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

und

$h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

stetig differenzierbare Funktionen. Es sei ${}b\in \mathbb {R}$ und ${}M=f^{-1}(b)$ die Faser von ${}f$ über ${}b$. Die eingeschränkte Funktion ${}h{|}_{M}$ besitze im Punkt ${}a\in M$ ein lokales Extremum auf ${}M$ und ${}a$ sei ein regulärer Punkt von ${}f$.

Dann ist ${}\left(Dh\right)_{a}$ ein Vielfaches von ${}\left(Df\right)_{a}$, d.h. es gibt ein ${}\lambda \in \mathbb {R}$ mit

${}\left(Dh\right)_{a}=\lambda \left(Df\right)_{a}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen