Lokaler Ring/Endliche freie Auflösung/Direkter Summand/Fakt

Es sei ${}R$ ein lokaler noetherscher Ring und ${}L=M\oplus N$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul mit einer endlichen projektiven Dimension.

Dann besitzen auch die direkten Summanden ${}M$ und ${}N$ eine endliche projektive Dimension, die höchstens so groß wie die von ${}L$ ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen