Hier haben wir eine typische Beweisaufgabe, in der mathematische Objekte mit speziellen Eigenschaften gegeben sind und daraus soll die Eigenschaft eines weiteren im Zusammenhang stehenden Objektes gezeigt werden. Konkret, wir haben eine stetige Abbildung
und eine Funktion
mit einem lokalen Extremum im Punkt
. Jetzt soll gezeigt werden, dass das lokale Extremum erhalten bleibt, nachdem
in
eingesetzt wird. Dann aber, wegen der Verknüpfung, in dem Punkt
, der durch
zum ursprünglichen Punkt
des lokalen Extremums "geschickt" wird.
Die Eigenschaft, dass
stetig ist, ist dabei natürlich entscheidend.
Nehmen wir uns hierfür als Beispiel eine einfache reelle Funktion
mit Ableitung
. Diese hat ein lokales Minimum (dies ist kein globales Minimum, ein Plot der Funktion ist hilfreich) in
mit Wert
. Wählen wir nun
-
als eindeutig nicht stetige Funktion, sehen wir, dass diese in
eingesetzt
-
ergibt. Diese Funktion hat gewiss kein lokales Extremum mehr in
, dem Punkt der auf das lokale Extremum von
geschickt wurde.
Zum Beweis der Aussage in der Aufgabenstellung sammlen wir die Eigenschaften.
Dass
stetig ist, bedeutet, dass es in jedem Punkt stetig ist. Somit insbesondere im Punkt
. Das wiederum heißt, für jedes
existiert ein
, sodass
-
Mit Worten, in einer Umbebung von
bleiben wir nach Abbilden mit
in einer Umgebung von
.
Weiterhin hat die Funktion
in
ein
lokales Extremum
(wir nehmen ohne Einschränkung an, dass dies ein lokales Minimum ist, für ein Maximum geht das genau so),
d.h. es exisitert ein
mit
-
Mit Worten, in einer Umgebung von
ist der Funktionswert von
immer größer oder gleich dem Funktionswert in
selbst.
Jetzt ist die Frage, ob die Verknüpfung
ein lokales Minimum in
besitzt, also ein
existiert mit
-
Es wäre also gut, wenn
![{\displaystyle {}\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c68e3673fc232de481dc9412268c5438ae10dd5)
garantiert, dass wir von
![{\displaystyle {}B(P,\epsilon _{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd0adaaa00b98c32b12b00746de7545cd8a5e90)
in
![{\displaystyle {}B(Q,\epsilon _{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ef5b293913f69f6cdb4c066cd6427a6637d6ea9)
landen, denn dann nutzen dass
![{\displaystyle {}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9d898a4aa67d3184ece545a662f5c63925507e0)
in
![{\displaystyle {}Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3925649ad5dc923b22e56355a5d6a466a39cb7a)
das lokale Minimum hat. Das erledigt die Stetigkeit von
![{\displaystyle {}\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c68e3673fc232de481dc9412268c5438ae10dd5)
. Wie kann
![{\displaystyle {}\epsilon _{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7280f577979a1b798ade50fac0b3eaa1c851a42)
dann gewählt werden?