Möbiusband/Algebraische Realisierung/Verklebungsdatum/Beispiel

Wir betrachten

${}Y:={\left\{(x,y,z,w)\in \mathbb {R} ^{4}\mid x^{2}+y^{2}=1,\,(1-y)z=xw,\,xz=(1+y)w\right\}}\,$

zusammen mit der natürlichen Projektion auf die eindimensionalen Sphäre

${}S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}=U\cup V\,$

mit ${}U=S^{1}\setminus \{(0,1)\}$ und ${}V=S^{1}\setminus \{(0,-1)\}$. Wir behaupten, dass ${}Y$ ein Vektorbündel vom Rang ${}1$ ist, das isomorph zum Möbiusband ist. Auf ${}U$ ist ${}y\neq 1$ und daher kann man die zweite Gleichung nach ${}z$ auflösen, also

${}z={\frac {x}{1-y}}w\,.$

Damit ist die dritte Gleichung wegen

${}xz={\frac {x}{1-y}}xw={\frac {x^{2}}{1-y}}w={\frac {1-y^{2}}{1-y}}w=(1+y)w\,$

automatisch erfüllt. Entsprechend gilt auf ${}V$ die Beziehung

${}w={\frac {x}{1+y}}z\,$

und die andere Gleichung ist automatisch erfüllt. Daher ist ${}Y$ auf ${}U$ bzw. auf ${}V$ ein triviales Vektorbündel vom Rang ${}1$ mit der Variablen ${}w$ bzw. ${}z$. Die Übergangsabbildung auf ${}U\cap V$ ist durch

${}{\frac {x}{1-y}}={\frac {1+y}{x}}\,$

gegeben, eine Matrixbeschreibung dieses Bündels ist also ${}{\left({\frac {x}{1-y}}\right)}$. Diese Matrix hängt, im Gegensatz zur konstanten Matrix aus Beispiel explizit von

${}(x,y)\in U\cap V\,$

ab. Dennoch sind die beiden Vektorbündel zueinander isomorph. Dazu verwenden wir Aufgabe und betrachten die beiden stetigen Funktionen ${}{\sqrt {1-t}}$ auf ${}U$ und ${}{\sqrt {1+t}}$ auf ${}V$, die beide nullstellenfrei sind.

Es ist

${}{\frac {1}{\sqrt {1+y}}}\cdot {\frac {x}{1-y}}\cdot {\sqrt {1-y}}={\frac {1}{\sqrt {1+y}}}\cdot {\frac {x}{\sqrt {1-y}}}={\frac {x}{\sqrt {1-y^{2}}}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}}}}={\frac {x}{\vert {x}\vert }}=\pm 1\,,$

abhängig vom Vorzeichen von ${}x$. Daher sind die Bündel isomorph.