Möbiusband/Algebraische Realisierung/Verklebungsdatum/Beispiel

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Wir betrachten

zusammen mit der natürlichen Projektion auf die eindimensionalen Sphäre

mit und . Wir behaupten, dass ein Vektorbündel vom Rang ist, das isomorph zum Möbiusband ist. Auf ist und daher kann man die zweite Gleichung nach auflösen, also

Damit ist die dritte Gleichung wegen

automatisch erfüllt. Entsprechend gilt auf die Beziehung

und die andere Gleichung ist automatisch erfüllt. Daher ist auf bzw. auf ein triviales Vektorbündel vom Rang mit der Variablen bzw. . Die Übergangsabbildung auf ist durch

gegeben, eine Matrixbeschreibung dieses Bündels ist also . Diese Matrix hängt, im Gegensatz zur konstanten Matrix aus Beispiel explizit von

ab. Dennoch sind die beiden Vektorbündel zueinander isomorph. Dazu verwenden wir Aufgabe und betrachten die beiden stetigen Funktionen auf und auf , die beide nullstellenfrei sind.

Es ist

abhängig vom Vorzeichen von . Daher sind die Bündel isomorph.