Möbiusband/Verklebungsdatum/Beispiel

Wir betrachten auf der eindimensionalen Sphäre

${}S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$

die offene Überdeckung ${}S^{1}=U\cup V$ mit ${}U=S^{1}\setminus \{(0,1)\}$ und ${}V=S^{1}\setminus \{(0,-1)\}$. Darauf beschreiben wir ein Verklebungdatum für ein reelles Vektorbündel vom Rang ${}1$. Die beiden offenen Mengen sind homöomorph zur reellen Geraden. Es ist

${}U\cap V=S^{1}\setminus \{(0,1),(0,-1)\}={\left\{(x,y)\in S^{1}\mid x\neq 0\right\}}\,,$

und dies ist nicht zusammenhängend, sondern homöomorph zu zwei disjunkten reellen offenen Halbgeraden (bzw. Geraden). Wir setzen ${}L=U\times \mathbb {R}$ und ${}M=V\times \mathbb {R}$. Wir legen einen Isomorphismus

$\varphi \colon L{|}_{U\cap V}\longrightarrow M{|}_{U\cap V}$

durch

${}\varphi (x,y,t):={\begin{cases}(x,y,t){\text{ für }}x>0\,,\\(x,y,-t){\text{ für }}x<0\,\end{cases}}\,$

fest. Man beachte, dass ${}\varphi$ stetig ist, da die beiden funktionalen Ausdrücke für zueinander disjunkte offene Teilmengen gelten. Auf der einen Hälfte wird identisch abgebildet, auf der anderen Hälfte wird umgeklappt. Im Sinne von Bemerkung liegt die stetige (konstante) Matrixbeschreibung

${}\psi (x,y):={\begin{cases}(1){\text{ für }}x>0\,,\\(-1){\text{ für }}x<0\,,\end{cases}}\,$

auf ${}U\cap V$ vor. Da nur zwei offene Mengen vorliegen, ist die Kozykelbedingung automatisch erfüllt. Dieses Verklebungsdatum definiert nach Fakt ein reelles Vektorbündel vom Rang ${}1$ auf der Sphäre, das Möbiusband heißt.