Vektorbündel/Matrixbeschreibung/Isomorphie/Aufgabe

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes ${}X$. Es seien

$\varphi _{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$

und

$\psi _{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$

Matrixbeschreibungen, die zu den Vektorbündeln ${}E$ bzw. ${}F$ führen. Zeige, dass diese Bündel genau dann isomorph sind, wenn es stetige Abbildungen

$\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$

derart gibt, dass (für sinnvolle Einschränkungen)

${}\alpha _{i}\circ \varphi _{ij}\circ \alpha _{j}^{-1}=\psi _{ij}\,$

für alle ${}i,j$ gilt.

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