Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

1. Man sagt, dass ${}X$ eine abzählbare Basis besitzt, wenn es eine Basis der Topologie gibt, die nur aus abzählbar vielen offenen Mengen besteht.
2. Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf ${}M$ heißt ${}\sigma$-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
   1. Es ist ${}M\in {\mathcal {A}}$.
   2. Mit ${}T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement ${}M\setminus T$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
   3. Für jede abzählbare Familie ${}T_{i}\in {\mathcal {A}}$, ${}i\in I$, ist auch

      $\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}.$

3. Eine Schrumpfung von ${}T$ ist eine Folge von Teilmengen ${}T_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, in ${}M$ mit ${}T_{n}\supseteq T_{n+1}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und mit ${}T=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$.
4. Die Rotationsmenge zu ${}T$ ist

   ${\left\{(x,y\cos \alpha ,y\sin \alpha )\in \mathbb {R} ^{3}\mid (x,y)\in T,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}.$

5. Eine messbare Funktion

   $f\colon X\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   heißt ${}p$-integrierbar, wenn ${}\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu$ endlich ist.

6. Die Abbildung ${}p_{U}\colon V\rightarrow U$, die jedem Element ${}v\in V$ das ${}u\in U$ aus der (nach Fakt) eindeutigen Zerlegung ${}v=u+w$ mit ${}u\in U$ und ${}w\in U^{\perp }$ zuordnet, heißt orthogonale Projektion auf ${}U$.

Zur gelösten Aufgabe