Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}(M,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Dann nennt man die von ${}{\mathcal {T}}$ erzeugte ${}\sigma$-Algebra die Menge der Borel-Mengen von ${}M$.
2. Man nennt das durch

   ${}\mu _{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}\mu _{n}(T_{1}\times \cdots \times T_{n})=\mu _{1}(T_{1})\cdots \mu _{n}(T_{n})\,$

   für ${}T_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}$ festgelegte Maß das Produktmaß auf ${}M_{1}\times \cdots \times M_{n}$.

3. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und

   $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt

   ${}\int _{M}f\,d\mu :={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\,$

   das Integral von ${}f$ über ${}M$ (zum Maß ${}\mu$).

4. Der Kegel zur Basis ${}B$ mit der Spitze ${}P$ ist definiert durch

   ${}K_{B}={\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}}\,.$

5. Ein topologischer Raum ${}X$ heißt überdeckungskompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung

   $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,\,\,{\text{ mit }}U_{i}{\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }}$

   eine endliche Teilmenge ${}J\subseteq I$ derart gibt, dass

   ${}X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,$

   ist.

6. Ein Orthonormalsystem ${}v_{i}$, ${}i\in I$, in ${}V$ heißt vollständig, wenn der von den ${}v_{i}$ erzeugte Untervektorraum dicht in ${}V$ ist.

Zur gelösten Aufgabe