Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

1. Es sei $(M,𝒯)$ ein topologischer Raum. Dann nennt man die von $𝒯$ erzeugte $\sigma$-Algebra die Menge der Borel-Mengen von $M$.
2. Man nennt das durch

   ${\mu }_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{\mu }_n(T_1\times \cdots \times T_n)={\mu }_1(T_1)\cdots {\mu }_n(T_n)$

   für $T_i\in {𝒜}_i$ festgelegte Maß das Produktmaß auf $M_1\times \cdots \times M_n$.

3. Es sei $(M,𝒜,\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und

   $f:M⟶{\overline{ℝ}}_{\ge 0}$

   eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt

   ${\int }_{M}fd\mu :=(\mu \otimes {\lambda }^1)(S(f))$

   das Integral von $f$ über $M$ (zum Maß $\mu$).

4. Der Kegel zur Basis $B$ mit der Spitze $P$ ist definiert durch

   $K_B=\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,t\in [0,1]\}.$

5. Ein topologischer Raum $X$ heißt überdeckungskompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung

   $X=\bigcup _{i\in I}{U}_i\text{ mit }{U}_i\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }$

   eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ derart gibt, dass

   $X=\bigcup _{i\in J}{U}_i$

   ist.

6. Ein Orthonormalsystem $v_i$, $i\in I$, in $V$ heißt vollständig, wenn der von den $v_i$ erzeugte Untervektorraum dicht in $V$ ist.

Zur gelösten Aufgabe