Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe/Lösung

1. Man nennt das auf ${}(M,{\mathfrak {P}}\,(M))$ durch

   $z(T)={\begin{cases}{\#\left(T\right)}\,,{\text{ falls }}T{\text{ endlich}}\,,\\\infty {\text{ sonst}}\,,\end{cases}}$

   definierte Maß das Zählmaß auf ${}M$.

2. Der topologische Raum ${}X$ heißt hausdorffsch, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten ${}x,y\in X$ zwei offene Mengen ${}U$ und ${}V$ gibt mit ${}x\in U,\,y\in V$ und ${}U\cap V=\emptyset$.
3. Der Produkt-Präring ist der von allen Quadern

   $S_{1}\times \cdots \times S_{n}{\text{ mit }}S_{i}\in {\mathcal {P}}_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n$

   erzeugte Präring in ${}M_{1}\times \cdots \times M_{n}$.

4. Die messbare numerische Funktion

   $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

   heißt ${}\sigma$-einfach, wenn sie nur abzählbar viele Werte besitzt.

5. Man sagt, dass ${}T$ die Punkte von ${}X$ trennt, wenn es zu je zwei Punkten  ${}x,y\in X$  eine Funktion  ${}f\in T$  mit  ${}f(x)\neq f(y)$  gibt.
6. Das ${}n$-te Legendre-Polynom ${}P_{n}(t)$ ist das Polynom

   ${\frac {1}{2^{n}(n!)}}((t^{2}-1)^{n})^{(n)}.$

Zur gelösten Aufgabe