Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/Test 1/Aufgabe/Lösung

1. Man sagt, dass ${}X$ eine abzählbare Basis besitzt, wenn es eine Basis der Topologie gibt, die nur aus abzählbar vielen offenen Mengen besteht.
2. Ein Prämaß auf ${}(M,{\mathcal {A}})$ nennt man ein Maß.
3. Unter dem Bildmaß versteht man das für messbare Teilmengen ${}T\subseteq N$ durch

   ${}\nu (T):=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,$

   definierte Maß auf ${}N$.

4. Das eindeutig bestimmte Maß ${}\lambda ^{1}=\lambda$ auf ${}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, das für jedes halboffene Intervall ${}[a,b[$ den Wert ${}\lambda ([a,b[)=b-a$ besitzt, heißt (eindimensionales) Borel-Lebesgue-Maß.
5. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und

   $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt

   ${}\int _{M}f\,d\mu :={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\,$

   das Integral von ${}f$ über ${}M$ (zum Maß ${}\mu$).

6. Die Rotationsmenge zu ${}T$ ist

   ${\left\{(x,y\cos \alpha ,y\sin \alpha )\in \mathbb {R} ^{3}\mid (x,y)\in T,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}.$

Zur gelösten Aufgabe