Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

1. Die Menge der Borel-Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ stimmt mit der von der Menge aller offenen Quader erzeugten ${}\sigma$-Algebra überein. Dabei kann man sich sogar auf die Menge der offenen achsenparallelen Quader mit rationalen Eckpunkten beschränken.
2. Der ${}\mathbb {R} ^{n}$ sei mit der ${}\sigma$-Algebra der Borel-Mengen ${}{\mathcal {B}}^{n}$ versehen. Dann gibt es auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}^{n})$ genau ein (${}\sigma$-endliches) Maß

   $\lambda ^{n}\colon {\mathcal {B}}^{n}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \lambda ^{n}(T),$

   das für alle Quader

   ${}Q=[a_{1},b_{1}[\times \cdots \times [a_{n},b_{n}[\,$

   den Wert

   ${}\lambda ^{n}(Q)=(b_{1}-a_{1})\cdots (b_{n}-a_{n})\,$

   besitzt.

   Die Aussage gilt auch für (achsenparallele)

   Quader mit offenen bzw. abgeschlossenen Intervallen als Seiten.
3. Es seien ${}p,q\geq 1$ reelle Zahlen mit

   ${}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,$

   und es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Es seien

   $f,g\colon X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

   messbare Funktionen, die ${}p$- bzw. ${}q$-integrierbar seien.

   Dann gilt

   ${}\int _{X}fgd\mu =\Vert {fg}\Vert _{1}\leq \Vert {f}\Vert _{p}\cdot \Vert {g}\Vert _{q}\,.$

Zur gelösten Aufgabe