Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/Test 2/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}M$ eine Menge. Für ein Mengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf ${}M$ sind äquivalent.
   1. ${}{\mathcal {A}}$ ist ein durchschnittsstabiles Dynkin-System
   2. ${}{\mathcal {A}}$ ist eine ${}\sigma$-Algebra.
2. Es sei ${}{\mathcal {B}}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ die ${}\sigma$-Algebra der Borel-Mengen auf ${}\mathbb {R}$. Dann gibt es genau ein ${}\sigma$-endliches Maß ${}\lambda$ auf ${}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$, das für jedes halboffene Intervall ${}[a,b[$ den Wert ${}\lambda ([a,b[)=b-a$ besitzt.
3. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und es sei

   $f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

   eine punktweise konvergente Folge von messbaren Funktionen. Es gebe eine messbare integrierbare Funktion

   $h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   mit ${}\vert {f_{n}(x)}\vert \leq h(x)$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und alle ${}x\in M$. Dann ist auch die Grenzfunktion ${}f=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}$ integrierbar, und es gilt

   ${}\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,.$

Zur gelösten Aufgabe