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Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/Test 2/Aufgabe/Lösung

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  1. Es sei eine Menge. Für ein Mengensystem auf sind äquivalent.
    1. ist ein durchschnittsstabiles Dynkin-System
    2. ist eine -Algebra.
  2. Es sei die -Algebra der Borel-Mengen auf . Dann gibt es genau ein -endliches Maß auf , das für jedes halboffene Intervall den Wert besitzt.
  3. Es sei ein -endlicher Maßraum und es sei

    eine punktweise konvergente Folge von messbaren Funktionen. Es gebe eine messbare integrierbare Funktion

    mit für alle und alle . Dann ist auch die Grenzfunktion integrierbar, und es gilt