Maßraum/Lebesgueraum/Funktionenfolge/Fast überall konvergent/p-Konvergenz/Fakt

Es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und ${}p\geq 1$. Es sei ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von messbaren Funktionen auf ${}X$, die fast überall gegen die messbare Funktion ${}f$ konvergiere. Es gebe ein reellwertiges ${}g\in L^{p}(X)$, das fast überall für alle ${}\vert {f_{n}}\vert$ eine obere Schranke sei.

Dann konvergiert ${}f_{n}$ auch in ${}L^{p}(X)$ gegen ${}f$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen