Maßraum/Lebesgueraum/Funktionenfolge/Fast überall konvergent/p-Konvergenz/Fakt/Beweis

Beweis

Die Bedingung ${}\vert {f_{n}}\vert \leq g$ sichert einerseits, dass die ${}f_{n}$ zu ${}L^{p}(X)$ gehören, und andererseits, dass auch ${}\vert {f}\vert \leq g$ fast überall gilt, weshalb wiederum ${}f$ zu ${}L^{p}(X)$ gehört. Es konvergiert ${}\vert {f-f_{n}}\vert$ und damit auch ${}\vert {f-f_{n}}\vert ^{p}$ fast überall gegen ${}0$. Wegen

${}\vert {f-f_{n}}\vert ^{p}\leq (2g)^{p}=2^{p}g^{p}\,$

und wegen ${}g\in L^{p}(X)$ können wir auf die Folge ${}\vert {f-f_{n}}\vert ^{p}$ den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden und erhalten ${}\Vert {f-f_{n}}\Vert _{p}\rightarrow 0$, also konvergiert ${}f_{n}$ in der ${}p$-Norm gegen ${}f$.

Zur bewiesenen Aussage