Integrationstheorie/Satz von der majorisierten Konvergenz/Fakt

Der Satz von der majorisierten Konvergenz

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und es sei

$f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine punktweise konvergente Folge von messbaren Funktionen. Es gebe eine messbare integrierbare Funktion

$h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

mit ${}\vert {f_{n}(x)}\vert \leq h(x)$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und alle ${}x\in M$.

Dann ist auch die Grenzfunktion ${}f=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}$ integrierbar, und es gilt

${}\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen