Integrationstheorie/Satz von der majorisierten Konvergenz/Fakt

Der Satz von der majorisierten Konvergenz

Es sei $(M,𝒜,\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und es sei

$f_n:M⟶\overline{ℝ}$

eine punktweise konvergente Folge von messbaren Funktionen. Es gebe eine messbare integrierbare Funktion

$h:M⟶{\overline{ℝ}}_{\ge 0}$

mit  $|f_n(x)|\le h(x)$  für alle  $n\in \mathbb{N}$  und alle  $x\in M$. 

Dann ist auch die Grenzfunktion  $f=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n$  integrierbar, und es gilt

${\int }_{M}fd\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_M{f}_{n}d\mu .$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen