Maßraum/Messbare Funktionen/p ist unendlich/Bemerkung

Häufig möchte man auch für ${}p=\infty$ zu Fakt entsprechende Funktionenräume mit einer entsprechenden Halbnorm zur Verfügung haben. Zu einer messbaren Funktion ${}f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ auf einem Maßraum ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ setzt man

${}\Vert {f}\Vert _{\infty }:=\inf {\left(b,\,\mu (f^{-1}(\mathbb {R} _{>b}))=0\right)}\,.$

Diese Zahl (die eventuell ${}\infty$ sein kann) nennt man auch das wesentliche Supremum von ${}f$. Die entscheidende Eigenschaft ist, dass ${}f$ zwar auch Werte oberhalb dieses wesentlichen Supremums annehmen kann, aber nur auf einer Nullmenge. Man nennt ${}f$ wesentlich beschränkt, wenn ihr wesentliches Supremum eine reelle Zahl ist. Mit ${}{\mathcal {L}}^{\infty }$ bezeichnet man den Vektorraum der wesentlich beschränkten Funktionen auf ${}X$, auf diesem ist ${}\Vert {-}\Vert$ eine Halbnorm.