Vektorraum/K/Halbnorm/Definition

Halbnorm

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum. Eine Abbildung

$\Vert {-}\Vert \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$

heißt Halbnorm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle  ${}v,w\in V$  gelten.

1. Es ist  ${}\Vert {v}\Vert \geq 0$  für alle  ${}v\in V$. 
2. Es ist  ${}\Vert {0}\Vert =0$. 
3. Für  ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$  und  ${}v\in V$  gilt

   ${}\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

4. Für  ${}v,w\in V$  gilt

   ${}\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$