Maßraum/Quadratintegrierbar/Hilbertraum/Fakt

Es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum.

Dann ist der Lebesgueraum ${}L^{2}(X)$ der quadratintegrierbaren Funktionen, versehen mit dem Skalarprodukt

${}\left\langle f,g\right\rangle :=\int _{X}f{\overline {g}}d\mu \,,$

ein Hilbertraum.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen