Mannigfaltigkeit/Differentialform/Lokale Beschreibung/Fakt

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}U\subseteq M$ eine offene Teilmenge mit einer Karte

\alpha \colon U\longrightarrow V

und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen. Es seien

x_{j}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}

die zugehörigen Koordinatenfunktionen, ${}1\leq j\leq n$ .

Dann lässt sich jede auf ${}U$ definierte ${}k$ -Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(U)$ eindeutig schreiben als

${}\omega =\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}f_{J}dx_{J}\,$

mit eindeutig bestimmten Funktionen

$f_{J}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$