Mannigfaltigkeit/Differentialform/Lokale Beschreibung/Fakt

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und  $U\subseteq M$  eine offene Teilmenge mit einer Karte

$\alpha :U⟶V$

und  $V\subseteq {ℝ}^n$  offen. Es seien

$x_j:U⟶ℝ$

die zugehörigen Koordinatenfunktionen,  $1\le j\le n$. 

Dann lässt sich jede auf $U$ definierte $k$-Differentialform  $\omega \in {ℰ}^k(U)$  eindeutig schreiben als

$\omega =\sum _{J,\mathrm{\#}\left(J\right)=k}{f}_{J}d{x}_J$

mit eindeutig bestimmten Funktionen

$f_J:U⟶ℝ.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen