Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Definition.
(2). Wir müssen für Differentialformen ${}\omega _{1}$ und ${}\omega _{2}$ und Skalare ${}a,b\in \mathbb {R}$ zeigen, dass ${}\varphi ^{*}(a\omega _{1}+b\omega _{2})=a\varphi ^{*}\omega _{1}+b\varphi ^{*}\omega _{2}$ gilt. Eine solche Gleichheit von Differentialformen bedeutet, dass die Gleichheit in jedem Punkt ${}P\in L$ und für jedes ${}k$-Tupel von Tangentialvektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{k}\in T_{P}L$ gilt. Daher folgt die Behauptung aus

${}{\begin{aligned}{\left(\varphi ^{*}(a\omega _{1}+b\omega _{2})\right)}{\left(P,v_{1},\ldots ,v_{k}\right)}&=(a\omega _{1}+b\omega _{2}){\left(\varphi (P),T_{P}(\varphi )(v_{1}),\ldots ,T_{P}(\varphi )(v_{k})\right)}\\&=a\omega _{1}{\left(\varphi (P),T_{P}(\varphi )(v_{1}),\ldots ,T_{P}(\varphi )(v_{k})\right)}\\&\,\,\,\,\,+b\omega _{2}{\left(\varphi (P),T_{P}(\varphi )(v_{1}),\ldots ,T_{P}(\varphi )(v_{k})\right)}\\&={\left(a\varphi ^{*}\omega _{1}\right)}(P,v_{1},\ldots ,v_{k})+{\left(b\varphi ^{*}\omega _{2}\right)}(P,v_{1},\ldots ,v_{k}).\end{aligned}}$

(3) folgt unmittelbar aus der Definition.
(4). Es sei ${}Q\in L$, ${}u_{1},\ldots ,u_{k}\in T_{Q}L$ und ${}\omega$ eine ${}k$-Form auf ${}N$. Dann gilt unter Verwendung von Fakt  (4)

${}{\begin{aligned}((\psi \circ \varphi )^{*}(\omega ))(Q,u_{1},\ldots ,u_{k})&=\omega {\left((\psi \circ \varphi )(Q),T_{Q}(\psi \circ \varphi )(u_{1}),\ldots ,T_{Q}(\psi \circ \varphi )(u_{k})\right)}\\&=\omega {\left(\psi (\varphi (Q)),{\left(T_{\varphi (Q)}\psi \right)}((T_{Q}\varphi )(u_{1})),\ldots ,{\left(T_{\varphi (Q)}\psi \right)}((T_{Q}\varphi )(u_{k}))\right)}\\&={\left(\psi ^{*}(\omega )\right)}{\left(\varphi (Q),T_{Q}(\varphi )(u_{1}),\ldots ,T_{Q}(\varphi )(u_{k})\right)}\\&={\left(\varphi ^{*}{\left(\psi ^{*}(\omega )\right)}\right)}(Q,u_{1},\ldots ,u_{k}),\,\end{aligned}}$

und dies ist die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage