Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Definition.
(2). Wir müssen für Differentialformen ${\omega }_1$ und ${\omega }_2$ und Skalare  $a,b\in ℝ$  zeigen, dass  ${\phi }^{\ast }(a{\omega }_1+b{\omega }_2)=a{\phi }^{\ast }{\omega }_1+b{\phi }^{\ast }{\omega }_2$  gilt. Eine solche Gleichheit von Differentialformen bedeutet, dass die Gleichheit in jedem Punkt  $P\in L$  und für jedes $k$-Tupel von Tangentialvektoren  $v_1,\dots ,v_k\in T_{P}L$  gilt. Daher folgt die Behauptung aus

$\begin{array}{cc}({\phi }^{\ast }(a{\omega }_1+b{\omega }_2))(P,v_1,\dots ,v_k)& =(a{\omega }_1+b{\omega }_2)(\phi (P),T_P(\phi )(v_1),\dots ,T_P(\phi )(v_k))\\ & =a{\omega }_1(\phi (P),T_P(\phi )(v_1),\dots ,T_P(\phi )(v_k))\\ & +b{\omega }_2(\phi (P),T_P(\phi )(v_1),\dots ,T_P(\phi )(v_k))\\ & =\left(a{\phi }^{\ast }{\omega }_1\right)(P,v_1,\dots ,v_k)+\left(b{\phi }^{\ast }{\omega }_2\right)(P,v_1,\dots ,v_k).\end{array}$

(3) folgt unmittelbar aus der Definition.
(4). Es sei  $Q\in L$,   $u_1,\dots ,u_k\in T_{Q}L$  und $\omega$ eine $k$-Form auf $N$. Dann gilt unter Verwendung von Fakt  (4)

$\begin{array}{cc}((\psi \circ \phi {)}^{\ast }(\omega ))(Q,u_1,\dots ,u_k)& =\omega ((\psi \circ \phi )(Q),T_Q(\psi \circ \phi )(u_1),\dots ,T_Q(\psi \circ \phi )(u_k))\\ & =\omega (\psi (\phi (Q)),\left(T_{\phi (Q)}\psi \right)((T_Q\phi )(u_1)),\dots ,\left(T_{\phi (Q)}\psi \right)((T_Q\phi )(u_k)))\\ & =({\psi }^{\ast }(\omega ))(\phi (Q),T_Q(\phi )(u_1),\dots ,T_Q(\phi )(u_k))\\ & =\left({\phi }^{\ast }({\psi }^{\ast }(\omega ))\right)(Q,u_1,\dots ,u_k),\end{array}$

und dies ist die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage