Mannigfaltigkeit/Pfaffsche Differentialform zu Funktion/Beschreibung mit partiellen Ableitungen/Fakt

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und  $U\subseteq M$  eine offene Teilmenge mit einer Karte

$\alpha :U⟶V$

und  $V\subseteq {ℝ}^n$  offen. Es seien

$x_j:U⟶ℝ$

die zugehörigen Koordinatenfunktionen,  $1\le j\le n$.  Es sei

$f:U⟶ℝ$

eine differenzierbare Funktion.

Dann gilt für die zugehörige $1$-Differentialform $df$ die Darstellung

$df=\sum _{j=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_j}d{x}_j.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen