Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Linearer Zusammenhang/Leibnizregel/Fakt/Beweis

Beweis

Beide Seiten sind lokal in ${}X$, wir können also annehmen, dass  ${}E=X\times W$  ein triviales Bündel (mit einem ${}\mathbb {R}$-Vektorraum ${}W$) ist. Es seien ${}s_{1},\ldots ,s_{r}$ konstante Basisschnitte von ${}E$, d.h. ${}s_{i}$ ist konstant gleich einem Vektor  ${}w_{i}\in W$,  und diese Vektoren bilden eine Basis von ${}W$. Wenn die Gleichheit für diese ${}s_{i}$ (und beliebige ${}f$) gezeigt ist, so folgt sie allgemein. Man kann ja jeden Schnitt ${}s$ in ${}E$ eindeutig als  ${}s=\sum _{i=1}^{r}g_{i}s_{i}$  mit Koeffizientenfunktionen ${}g_{i}$ schreiben. Damit gilt unter Verwendung der ${}\mathbb {R}$-Linearität der beiden Seiten und der Leibnizregel für die konstanten Schnitte (s.u.) und der Produktregel die Beziehung

${}{\begin{aligned}\nabla (fs)&=\nabla \left(f\sum _{i=1}^{r}g_{i}s_{i}\right)\\&=\nabla \left(\sum _{i=1}^{r}\left(fg_{i}\right)s_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{r}\nabla \left(\left(fg_{i}\right)s_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{r}\left(s_{i}\otimes d(fg_{i})+fg_{i}\nabla s_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{r}s_{i}\otimes \left(g_{i}df+fdg_{i}\right)+\sum _{i=1}^{r}fg_{i}\nabla s_{i}\\&=\sum _{i=1}^{r}\left(g_{i}s_{i}\otimes df\right)+\sum _{i=1}^{r}\left(s_{i}\otimes fdg_{i}+fg_{i}\nabla s_{i}\right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{r}g_{i}s_{i}\right)\otimes df+f\sum _{i=1}^{r}\left(s_{i}\otimes dg_{i}+g_{i}\nabla s_{i}\right)\\&=s\otimes df+f\sum _{i=1}^{r}\nabla \left(g_{i}s_{i}\right)\\&=s\otimes df+f\nabla s.\end{aligned}}$

Es sei also nun ${}s$ ein Schnitt, der konstant gleich ${}w$ ist. Es sei  ${}x\in X$.  Wegen  ${}\nabla (fs)=\nabla ((f-f(x))s)+f(x)\nabla s$  können wir weiter annehmen, dass  ${}f(x)=0$  ist. Dann ist  ${}(f\nabla s)(x)=0$  und wir müssen nur noch den vorderen Summanden betrachten. Der Tangentialraum von  ${}E=X\times W$  in ${}(x,0)$ ist gleich ${}(T_{x}X\times 0)\oplus (0\times W)$, und da der Nullschnitt für einen linearen Zusammenhang nach Aufgabe horizontal ist, ist diese Zerlegung auch die Zerlegung in Horizontal- und Vertikalraum. Die vertikale Ableitung ${}\nabla (fs)$ im Punkt ${}x$ ist die Gesamtabbildung

$T_{x}X{\stackrel {T(fs)}{\longrightarrow }}T_{(x,0)}(X\times W){\stackrel {\pi }{\longrightarrow }}W,$

und da ${}s$ konstant ist, ist dies gleich ${}s\otimes df$.

Zur bewiesenen Aussage