Totale Differenzierbarkeit/R/Produktregel/Fakt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $ℝ$-Vektorräume,  $G\subseteq V$  eine offene Menge,  $P\in G$  ein Punkt, $\phi :G\to W$ und $f:G\to ℝ$ in $P$ differenzierbare Abbildungen.

Dann ist die Produktabbildung

$f\cdot \phi :G⟶W$

in $P$ differenzierbar mit

${(D(f\cdot \phi ))}_P=f(P)\cdot {\left(D\phi \right)}_P+{\left(Df\right)}_P\cdot \phi (P).$

Einen Beweis erstellen