Mannigfaltigkeit/Vektorfelder/Lie-Klammer/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1) folgt aus der Definition, (2) folgt aus der Beziehung

D_{V_{1} + V_{2}} = D_{V_{1}} + D_{V_{2}}

zwischen Differentialoperatoren und Vektorfeldern. (3). Da die Aussage lokal ist, können wir

V = \sum_{i = 1}^{n} f_{i} \partial_{i}

und $W = \sum_{j = 1}^{n} g_{j} \partial_{j}$ ansetzen. Dann ist

f V = f \sum_{i = 1}^{n} f_{i} \partial_{i} = \sum_{i = 1}^{n} f f_{i} \partial_{i}

und nach Fakt ist

\begin{matrix} [f V, W] & = \sum_{j = 1}^{n} (\sum_{i = 1}^{n} (f f_{i} \partial_{i} g_{j} - g_{i} \partial_{i} (f f_{j}))) \partial_{j} \\ = \sum_{j = 1}^{n} (\sum_{i = 1}^{n} (f f_{i} \partial_{i} g_{j} - g_{i} (f \partial_{i} (f_{j}) + f_{j} \partial_{i} (f)))) \partial_{j} \\ = f \sum_{j = 1}^{n} (\sum_{i = 1}^{n} (f_{i} \partial_{i} g_{j} - g_{i} \partial_{i} (f_{j}))) \partial_{j} - \sum_{j = 1}^{n} (\sum_{i = 1}^{n} g_{i} f_{j} \partial_{i} (f)) \partial_{j} \\ = f [V, W] - \sum_{j = 1}^{n} (\sum_{i = 1}^{n} g_{i} \partial_{i} (f)) f_{j} \partial_{j} \\ = f [V, W] - (\sum_{i = 1}^{n} g_{i} \partial_{i} (f)) (\sum_{j = 1}^{n} f_{j} \partial_{j}) \\ = f [V, W] - D_{W} (f) V . \end{matrix}