Mathematik/Prinzipien/Allquantor und Variablen/Bemerkung

Mathematische Aussagen werden häufig mit Variablen formuliert, typischerweise mit Buchstaben, die jede beliebige Zahl aus dem gegebenen Zahlenbereich oder allgemeiner beliebige Elemente aus einer Menge repräsentieren können. Solche Aussagen sind in der Regel Allaussagen, (siehe aber auch Bemerkung), die eben für alle Objekte gelten. Eine Allaussage ist wahr, wenn bei jeder Einsetzung, in der die Variablen durch (beliebige konkrete) Elemente der Menge ersetzt werden, eine wahre Aussage auf der Elementebene entsteht. Es finden sich Formulierungen wie „für alle“, „für jedes“, „für ein beliebiges“, wobei aber stets eine Menge, auf die sich die Allaussage bezieht, gegenwärtig ist. Manchmal wird die Allformulierung auch weggelassen und muss aus dem Kontext erschlossen werden. Dies ist zumeist unproblematisch, da man ja in der Mathematik an allgemeingültigen Aussagen interessiert ist. In formaler Schreibweise wird auch das Symbol ${}\forall$, der Allquantor, verwendet (siehe hierzu auch Bemerkung).

Wenn man eine „Formel“ mit Variablen formuliert, so kommen darin gewisse Variablen mehrfach vor. Die Gültigkeit für alle bedeutet dabei, dass man eine Variable überall dort, wo sie vorkommt, durch das gleiche Element ersetzen muss. Das Assoziativgesetz

${}a+(b+c)=(a+b)+c\,$

bedeutet, dass man für ${}a,b,c$ jeweils beliebige Zahlen einsetzen darf, aber natürlich links und rechts für ${}a$ die gleiche Zahl einsetzen muss.

Gelegentlich gilt eine Aussage für nahezu alle Elemente, aber mit gewissen Ausnahmen, die dann unbedingt explizit angegeben werden müssen. So kann man innerhalb der reellen Zahlen durch jede reelle Zahl ${}\neq 0$ dividieren, aber eben nicht durch die ${}0$.