Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

1. Ein Körper $K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung „$\ge$ “ auf $K$ gibt, die die beiden Eigenschaften
   1. Aus $a\ge b$ folgt $a+c\ge b+c$ (für beliebige $a,b,c\in K$)
   2. Aus $a\ge 0$ und $b\ge 0$ folgt $ab\ge 0$ (für beliebige $a,b\in K$)

   erfüllt.

2. Eine reelle Folge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem $ϵ\in ℝ$, $ϵ>0$, gibt es ein  $n_0\in \mathbb{N}$  derart, dass für alle  $n,m\ge n_0$  die Beziehung

   $|x_n-x_m|\le ϵ$

   gilt.

3. Die Abbildung

   $ℂ⟶ℂ,z=a+b\mathrm{i}⟼\bar{z}=a-b\mathrm{i},$

   heißt komplexe Konjugation.

4. Eine Abbildung

   $\phi :ℝ⟶ℝ$

   heißt stetig, wenn für jedes $x\in ℝ$ und für jedes $ϵ>0$ ein $\delta >0$ derart existiert, dass

   $\phi (]x-\delta ,x+\delta [)\subseteq ]\phi (x)-ϵ,\phi (x)+ϵ[$

   gilt.

5. Die Vektoren $v_1,\dots ,v_n$ heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung

   $\sum _{i=1}^n{a}_i{v}_i=0$

   nur bei $a_i=0$ für alle $i$ möglich ist.

6. Eine Abbildung

   $\phi :V⟶W$

   heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

   1. $\phi (u+v)=\phi (u)+\phi (v)$ für alle $u,v\in V$.
   2. $\phi (sv)=s\phi (v)$ für alle $s\in K$ und $v\in V$.
7. Die Reihe

   $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^k$

   heißt die geometrische Reihe in $x$.

8. Das Polynom

   $\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k$

   heißt das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$.

Zur gelösten Aufgabe