Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein maximales Element ${}x\in I$ in einer geordneten Menge ${}(I,\preccurlyeq )$.
2. Die Termsubstitution ${}s{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}$ für ${}S$-Terme ${}s$ (dabei sei ${}S$ ein Symbolalphabet einer Sprache erster Stufe, ${}x_{1},\ldots ,x_{k}$ paarweise verschiedene Variablen und ${}t_{1},\ldots ,t_{k}$ fixierte ${}S$-Terme).
3. Der Rang eines prädikatenlogischen Ausdrucks ${}\alpha$.
4. Die elementare Äquivalenz von zwei ${}S$-Strukturen ${}M$ und ${}N$ über einem erststufigen Symbolalphabet ${}S$.
5. Eine ${}R$-berechenbare Funktion

   $F\colon \mathbb {N} ^{k}\longrightarrow \mathbb {N} .$

6. Die ${}\beta$-Funktion ${}\beta (p,n,i)$.

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