Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ein Symbolalphabet ${}S$ einer Sprache erster Stufe gegeben und es seien ${}x_{1},\ldots ,x_{k}$ paarweise verschiedene Variablen und ${}t_{1},\ldots ,t_{k}$ fixierte ${}S$-Terme. Es sei eine ${}S$-Interpretation ${}I$ gegeben. Dann gelten folgende Aussagen.
   1. Für jeden ${}S$-Term ${}s$ gilt

      ${}I\left(s{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)=\left(I{\frac {I(t_{1}),\ldots ,I(t_{k})}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)(s)\,.$

   2. Für jeden ${}S$-Ausdruck ${}\alpha$ gilt

      $I\vDash \alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}{\text{ genau dann, wenn }}{\left(I{\frac {I(t_{1}),\ldots ,I(t_{k})}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)}\vDash \alpha .$

2. Es sei ${}V$ eine Menge an Aussagenvariablen und ${}\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik. Es sei ${}\alpha \in L^{V}$. Dann ist

   $\Gamma \vdash \alpha {\text{ genau dann, wenn }}\Gamma \vDash \alpha .$

3. Es sei ${}\Gamma$ eine arithmetische Ausdrucksmenge, die widerspruchsfrei und entscheidbar sei und die Peano-Arithmetik umfasse. Dann ist die Widerspruchsfreiheit ${}WF(\Gamma )$ nicht aus ${}\Gamma$ ableitbar, d.h. es ist

   $\Gamma \not \vdash WF(\Gamma ).$

Zur gelösten Aufgabe