Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ein Symbolalphabet $S$ einer Sprache erster Stufe gegeben und es seien $x_1,\dots ,x_k$ paarweise verschiedene Variablen und $t_1,\dots ,t_k$ fixierte $S$-Terme. Es sei eine $S$-Interpretation $I$ gegeben. Dann gelten folgende Aussagen.
   1. Für jeden $S$-Term $s$ gilt

      $I\left(s\frac{t_1,\dots ,t_k}{x_1,\dots ,x_k}\right)=\left(I\frac{I(t_1),\dots ,I(t_k)}{x_1,\dots ,x_k}\right)(s).$

   2. Für jeden $S$-Ausdruck $\alpha$ gilt

      $I\models \alpha \frac{t_1,\dots ,t_k}{x_1,\dots ,x_k}\text{ genau dann, wenn }\left(I\frac{I(t_1),\dots ,I(t_k)}{x_1,\dots ,x_k}\right)\models \alpha .$

2. Es sei $V$ eine Menge an Aussagenvariablen und $\Gamma \subseteq L^V$ eine Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik. Es sei $\alpha \in L^V$. Dann ist

   $\Gamma ⊢\alpha \text{ genau dann, wenn }\Gamma \models \alpha .$

3. Es sei $\Gamma$ eine arithmetische Ausdrucksmenge, die widerspruchsfrei und entscheidbar sei und die Peano-Arithmetik umfasse. Dann ist die Widerspruchsfreiheit $WF(\Gamma )$ nicht aus $\Gamma$ ableitbar, d.h. es ist

   $\Gamma ⊬WF(\Gamma ).$

Zur gelösten Aufgabe