Matrix/2x2/Scherungsmatrizen/Charakteristisches Polynom/Beispiel

Wir betrachten ${}2\times 2$-Scherungsmatrizen

${}M={\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}\,$

mit ${}a\in K$. Das charakteristische Polynom ist

${}\chi _{M}=(X-1)(X-1)\,,$

sodass ${}1$ der einzige Eigenwert von ${}M$ ist. Den zugehörigen Eigenraum berechnet man als

${}\operatorname {Eig} _{1}{\left(M\right)}=\operatorname {kern} {\begin{pmatrix}0&-a\\0&0\end{pmatrix}}\,.$

Aus

${}{\begin{pmatrix}0&-a\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r\\s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-as\\0\end{pmatrix}}\,$

folgt, dass ${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor ist, und dass bei ${}a\neq 0$ der Eigenraum eindimensional ist (bei ${}a=0$ liegt die Identität vor und der Eigenraum ist zweidimensional). Bei ${}a\neq 0$ ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts ${}1$ gleich ${}2$, die geometrische Vielfachheit gleich ${}1$.