Matrix/Annullierendes Polynom/Inverse Matrix/Aufgabe

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$-Matrix über einem Körper

${}K$ und sei

$P=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{m}X^{m}\in K[X]$

ein Polynom mit

${}P(M)=0\,$

und mit ${}a_{0}\neq 0$. Zeige, dass ${}M$ invertierbar ist und dass die inverse Matrix durch

${}M^{-1}=-{\frac {1}{a_{0}}}{\left(a_{1}+a_{2}M+\cdots +a_{m}M^{m-1}\right)}\,$

beschrieben wird.

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