Matrix/Minimalpolynom/Körpererweiterung/Aufgabe/Lösung

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Das Polynom kann man direkt als auffassen. Es sei der Grad von . Es sei das Minimalpolynom zu , wenn man die Matrix über betrachtet. Die Eigenschaft gilt über und auch über , da die Matrizenoperationen unabhängig vom Körper sind. Daher ist ein Vielfaches in und der Grad von kann allenfalls runtergehen. Da das Minimalpolynom über den Grad besitzt, sind die Potenzen

linear unabhängig

als Elemente in . Diese lineare Unabhängigkeit bleibt beim Übergang von nach erhalten, da man dies durch das Eliminationsverfahren überprüfen kann. Daher kann es auch über kein annullierendes Polynom kleineren Grades geben.
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