Das Polynom kann man direkt als auffassen. Es sei der
Grad
von . Es sei das Minimalpolynom zu , wenn man die Matrix über betrachtet. Die Eigenschaft gilt über und auch über , da die Matrizenoperationen unabhängig vom Körper sind. Daher ist ein Vielfaches in und der Grad von kann allenfalls runtergehen. Da das Minimalpolynom über den Grad besitzt, sind die Potenzen
-
linear unabhängig
als Elemente in
. Diese lineare Unabhängigkeit bleibt beim Übergang von
nach
erhalten, da man dies durch das Eliminationsverfahren überprüfen kann. Daher kann es auch über
kein annullierendes Polynom kleineren Grades geben.