Polynomring über Körper/Standard Z-Graduierung/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen über ${}K$. Dieser ist in naheliegender Weise ${}\mathbb {Z}$-graduiert. Man definiert für ein Monom ${}X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\cdots X_{n}^{k_{n}}$ den Grad durch ${}k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{n}$ und setzt ${}A_{d}$ als den Vektorraum aller Polynome an, die Linearkombinationen von Monomen vom Grad ${}d$ sind. Bei der Multiplikation von zwei Monomen verhält sich der Grad offensichtlich additiv, sodass dadurch eine graduierte ${}K$-Algebra entsteht. Es ist ${}A_{0}=K$ und ${}A_{n}=0$ für negativen Grad ${}n$. Diese Graduierung heißt auch die Standardgraduierung auf dem Polynomring.