Matrix/Rang/Faktorisierung/Aufgabe/Lösung

Wir fassen die Matrix als lineare Abbildung

K^{n}\longrightarrow K^{m}.

Nach Fakt ist der Rang dieser Abbildung gleich ${}r$ , d.h. das Bild ${}V\subseteq K^{m}$ besitzt die Dimension ${}r$ . Es gibt also eine Faktorisierung

K^{n}\longrightarrow V\longrightarrow K^{m},

wobei die erste Abbildung die durch ${}M$ gegebene Abbildung mit dem Bild ${}V$ ist und die zweite Abbildung die Inklusion ${}V\subseteq K^{m}$ . Mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{r}$ von ${}V$ und den Standardbasen links und rechts werden diese beiden linearen Abbildungen durch eine ${}r\times n$ -Matrix ${}A$ und eine ${}m\times r$ -Matrix ${}B$ beschrieben. Somit gilt