Matrix3/Zwei Blöcke/Trigonalisierbar/Diagonalisierbar/3/Aufgabe/Lösung

Das charakteristische Polynom der Matrix ist

${}{\begin{aligned}\chi _{}&=\det {\begin{pmatrix}X-10&-4&0\\9&X+2&0\\0&0&X-11\end{pmatrix}}\\&=((X-10)(X+2)+36)(X-11)\\&=(X^{2}-8X+16)(X-11)\\&=(X-4)^{2}(X-11).\end{aligned}}$

Damit ist die Matrix jedenfalls trigonalisierbar. Zur Frage die Diagonalisierbarkeit betrachten wir den Eigenwert ${}4$. Der Rang von

${\begin{pmatrix}-6&-4&0\\9&6&0\\0&0&-7\end{pmatrix}}$

ist offenbar ${}2$ und somit ist der Eigenraum eindimensional. Daher ist die geometrische Vielfachheit echt kleiner als die algebraische Vielfachheit und die Matrix ist nach Fakt

nicht diagonalisierbar.

Zur gelösten Aufgabe