Matrizen/2x2/Realisierung von Qi/Aufgabe

Wir betrachten die Menge

${}R={\left\{{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\}}\subseteq \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {Q} )\,.$

1. Zeige, dass ${}R$ eine Untergruppe von ${}\operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {Q} )$ (bezüglich der Addition) ist.
2. Zeige, dass ${}R$ unter der Matrizenmultiplikation abgeschlossen ist.
3. Zeige, dass ${}R$ die rationalen ${}\mathbb {Q}$ als Diagonalmatrizen enthält.
4. Zeige, dass ${}R$ ein kommutativer Ring ist.
5. Zeige, dass ${}R$ ein Körper ist.
6. Zeige, dass ${}R$ eine Quadratwurzel zu ${}-1$ enthält.

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