Mehrdimensionale lineare Regression/Transformation - affin nach linear

Transformation - affin nach linear

Durch eine Transformation eines affine Problems $A\cdot x+b=y$ in ein lineares $A^{\ast }x^{\ast }=y$ reduziert man die Lösungsverfahren auf einfachere lineare Zusammenhänge (siehe auch Numerik).

Transformation affines Problem in linear

Ist folgende affine Abbildung $f(x)=A\cdot x+b\in \mathbb {R} ^{m}$ gegeben, dann transformiert man die affine Abbildung in eine lineare Funktion mit einer Matrix $A^{\ast }\in Mat(m\times n+1,\mathbb {R} )$. Diese lineare Abbildung hat dann folgende Gestalt.

$f^{\ast }(x)=A^{\ast }\cdot x^{\ast }\in \mathbb {R} ^{m},$

mit $x^{\ast }:=(x_{1},\ldots ,x_{n},1)\in \mathbb {R} ^{n+1}$ und $A^{\ast }:=(A,b)\in Mat(m\times n+1,\mathbb {R} )$.

Bemerkung - erweiterte Matrix

In der erweiterten Matrix $A^{\ast }:=(A,b)\in Mat(m\times n+1,\mathbb {R} )$ wird zu $A\in Mat(m\times n,\mathbb {R} )$ rechts der Spaltenvektor $b\in \mathbb {R} ^{m}$ ergänzt und $A^{\ast }:=(A,b)$ erhält alle gesuchten Parameter in einer linearen Darstellung des Problems.

Darstellende Matrix des linearen Problems

Im Folgenden werden daher lineare Abbildungen $f(x):=A\cdot x$ für die Regression betrachtet, da man affine Probleme in eine lineare Darstellung transformieren kann.