Mehrdimensionale lineare Regression

Lernvoraussetzungen

Für die folgenden Lernressource über mehrdimensionale lineare Regression ist es hilfreich den grundlegenden Fall einer linearen Regression für Abbildungen $f:ℝ\to ℝ$ zu betrachten. Dabei kann $f$ eine (affine) Funktion der Form $f(x)=a\cdot x+b$, wobei die $a,b\in ℝ$ gesucht sind, die Daten $𝔻$ mit $(x_i,y_i)\in 𝔻$ möglichst gut approximieren.

Mehrdimensionale lineare Regression

Im Unterschied zu dem eindimensionalen Fall für $x\in ℝ$ und $y\in ℝ$ der lineare Regression $f(x)=a\cdot x+b$ wird nun auf einen mehrdimensionalen funktionale Zusammenhang $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ mit $f(x)=A\cdot x+b$ erweitert. Dabei ist $A\in Mat(m\times n,ℝ)$ eine Matrix und $b\in {ℝ}^m$ ein Spaltenvektor. $A$ und $b$ sind bei der mehrdimensionale lineare Regression gesucht.

Bemerkung - affin - linear

Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass die $f(x)=A\cdot x+b$ nur dann linear ist, wenn $b$ der Nullvektor ist. $f(x)=A\cdot x+b$ ist daher im Allgemeinen nicht linear, sondern eine affine Funktion.

Implementation in R

Zu der Lerneinheit wurden Demodateien in KnitR bereitgestellt, um Berechnung zu mehrdimensionale lineare Regression auch auf dem Rechner nachvollziehen zu können.

Gliederung

• Daten und Abbildungen - (Foliensatz)
  • Affine Abbildung in R
  • Rechenbeispiel
  • Schätzfunktion - eindimensionaler Fall - (Foliensatz)
• Transformation - affin nach linear - (Foliensatz)
• Zerlegung einer linearen Abbildung in Komponentenfunktionen
• Regression für Komponentenfunktion - exakte Lösung und Approximation
• Gradient - lineares Funktional - (Foliensatz)
• Gradientenabstieg und Fehlerfunktion - (Foliensatz)
• Fehlerminimierung und Lernrate - (Foliensatz)
• Gesamtfehler aller Fehlerfunktionen - (Foliensatz)
• Umsetzung in R - (Foliensatz)

Daten für die Regression

Die Daten $𝔻$ für die mehrdimensionale lineare Regression bestehen aus Datenpunkten der Form $(x^{(i)},y^{(i)})\in {ℝ}^n\times {ℝ}^m$:

$𝔻:=\{(x^{(i)},y^{(i)})\in {ℝ}^n\times {ℝ}^m:i\in \{1,\dots ,d\}\}$

Rechenbespiel

Parallel zu den folgenden Ausführung ist ein Rechenbeispiel ausgeführt

Daten für das Lineare Modell

Analog zu einem eindimensionalen Fall für $x\in ℝ$, $y\in ℝ$ und einem Datenpunkt $(x,y)\in {ℝ}^2$ hat man bei mehrdimensionale lineare Regression Datenpunkte der Form $(x,y)\in {ℝ}^{n+m}$ für $x\in {ℝ}^n$, $y\in {ℝ}^m$

Ziel der affinen Regression

Für die Abbildung $f(x)=A\cdot x+b\in {ℝ}^m$ und Daten $𝔻:=\{(x^{(1)},y^{(1)},\dots ,(x^{(d)},y^{(d)})\}$ sucht man eine geeignete Matrix $A\in Mat(m\times n,ℝ)$ und einem Vektor $b\in {ℝ}^m$, sodass der aggregierte quadratische Fehler $E_{MLR}(A,b)$ über alle Daten aus $𝔻$ möglichst klein wird.

$E_{MLR}(A,b,𝔻):=\sum _{k=1}^m\Vert f(x^{(k)})-y^{(k)}{\Vert }^2\text{ minimal }$

Bemerkung - affin zu linear

In dem Unterkapitel Transformation - affin nach linear wird gezeigt, dass man sich bei Lösungsverfahren bei affinen Abbildungen $f(x)=A\cdot x+b$ auf den linearen Fall $f(x)=A\cdot x$ beschränken kann. Dadurch ergibt sich für die iterative Umsetzung in R eine vereinfachte Fehlerfunktion $E_{MLR}$ für Daten $𝔻:=\{(x^{(1)},y^{(1)},\dots ,(x^{(d)},y^{(d)})\}$ mit $x_{𝔻}=(x^{(1)},\dots ,x^{(d)})$ und $y_{𝔻}=(y^{(1)},\dots ,y^{(d)})$:

$E_{MLR}(A,x_{𝔻},y_{𝔻}):=\sum _{k=1}^d\Vert f(x^{(k)})-y^{(k)}{\Vert }^2\text{ minimal }$

Bemerkung - Norm zu Messung des Fehlers

Dabei ist $\Vert \cdot \Vert :{ℝ}^m\to {ℝ}_o^{+}$ eine Norm auf dem Wertebereich der Funktion. Man kann mit der Norm die Länge des mehrdimensionalen Fehlervektors messen. Dadurch erhält man einen skalaren Fehler in ${ℝ}_o^{+}$.

Animation - Multiple lineare Regression

In der folgenden Animation hat man zweidimensionale Datenpunkte $(x_1,x_2)\in {ℝ}^2$ als unabhängige Variablen und einer eindimensionalen abhängigen Variablen $y_1\in ℝ$. Der Graph der affinen Abbildung $f:{ℝ}^2\to ℝ$ stellt eine Ebenen im dreidimensionalen Raum ${ℝ}^3={ℝ}^2\times ℝ$ dar, wobei die Datenpunkten die Form $(x_1,x_2,y_1)\in {ℝ}^3$ besitzen.

Transformation - affin nach linear

Durch eine Transformation eines affine Problems $A\cdot x+b=y$ in ein lineares $A^{\ast }{x}^{\ast }=y$ reduziert man die Lösungsverfahren auf einfachere lineare Zusammenhänge (siehe auch Lösungsverfahren linearer Gleichungssysteme in der Numerik).

Siehe auch

• lineare Regression in R
• Kurs:Mehrdimensionale lineare Regression
• Kurs:Numerik I
• Gradient (Mathematik)
• Gradientenabstiegsverfahren
• Laden und Speichern von CSV-Dateien in R
• Kurs:Maschinelles Lernen

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